已知向量m=(2cosx,-3sin2x),n=(cosx,1),设函数f(x)=m•n,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)若方程f
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已知向量m=(2cosx,-3sin2x),n=(cosx,1),设函数f(x)=m•n,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)若方程f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知向量
m
=
(2cosx,-
3
sin2x)
,
n
=(cosx,1),设函数f(x)=
m
•
n
,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)若方程f(x)-k=0在区间
[0,
π
2
]
上有实数根,求k的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)=
m
•
n
=2cos
2
x-
3
sin2x=cos2x-
3
sin2x+1=2sin(
π
6
-2x)+1=-2sin(2x-
π
6
)+1,
∴函数的最小正周期为
2π
2
=π,令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,解得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈z,
故函数的减区间为[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
],k∈z.
(Ⅱ)若方程f(x)-k=0在区间
[0,
π
2
]
上有实数根,则函数y=f(x)的图象和直线y=k 在区间
[0,
π
2
]
上有交点.
由 0≤x≤
π
2
可得-
π
6
≤2x-
π
6
≤
5π
6
,∴-
1
2
≤sin(2x-
π
6
)≤1,∴-1≤-2sin(2x-
π
6
)+1≤2,
即函数f(x)的值域为[-1,2],
故-1≤k≤2,即k的取值范围为[-1,2].
举一反三
方程x
2
+2=0在复数集内的解是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知x>0,函数f(x)=-x
2
+2x+t-1,g(x)=x+
1
x
.
(1)求过点(1,f(1))与y=f(x)图象相切的直线方程
(2)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(3)确定实数t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
题型:解答题
难度:一般
|
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设m是实数,求证方程2x
2
-(4m-1)x-m
2
-m=0的两根必定都是实数.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=x
3
-3x+d的图象与x轴恰有两个公共点,则d=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知数列{a
n
}是首项为15、公差为整数的等差数列,前n项的和是S
n
,S
11
≥0,S
12
<0,S
n
的最大值是S,函数y=f(x)满足f(1+x)=f(5-x)对任意实数x都成立,且y=f(x) 的所有零点和恰好为S,则y=f(x)的零点的个数为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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