已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2(I)求f(x)在[0,1]上的极值;(II)若关于x的方程f(x)=-2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求
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已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2(I)求f(x)在[0,1]上的极值;(II)若关于x的方程f(x)=-2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x
2
(I)求f(x)在[0,1]上的极值;
(II)若关于x的方程f(x)=-2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
答案
(I)
f′(x)=
3
2+3x
-3x=
-3(x+1)(3x-1)
3x+2
,
令f"(x)=0得
x=
1
3
或x=-1(舍去)∴当
0≤x≤
1
3
时,f"(x)>0,f(x)单调递增;
当
1
3
<x≤1
时,f"(x)<0,f(x)单调递减.∴
f(
1
3
) =ln3-
1
6
为函数f(x)在[0,1]上的极大值
(II)由f(x)=-2x+b⇒ln(2+3x)-
3
2
x
2
+2x-b=0
令
φ(x)=ln(2+3x)-
3
2
x
2
+2x-b
,则,
φ′(x)=
3
2+3x
-3x+2=
7-9
x
2
2+3x
,
当
x∈[0,
7
3
]
时,φ"(x)>0,于是φ(x)在
[0,
7
3
]
上递增;
当
x∈[
7
3
,1]
时,φ"(x)<0,于是φ(x)在
[
7
3
,1]
上递减,而
φ(
7
3
)>φ(0),φ(
7
3
)>φ(1)
,
∴f(x)=-2x+b,即φ(x)=0在[0,1]恰有两个不同实根等价于
φ(0)=ln2-b≤0
φ(
7
3
)=ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
-b>0
φ(1)=ln5+
1
2
-b≤0
∴ln5+
1
2
≤b小于ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
.
举一反三
设f(x)=e
x
+x-4,则函数f(x)的零点位于区间( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=sinx-x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=16ln(1+x)+x
2
-10x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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给出下列命题:
A.函数f(x)=2
x
-x
2
的零点有3个
B.
(x+
1
x
+2
)
5
展开式的常数项等于32
C.函数y=sinx(x∈[-π,π])图象与x轴围成的图形的面积是
S=
∫
π-π
sinxdx
D.复数z
1
,z
2
与复平面的两个向量
O
Z
1
,
O
Z
2
相对应,则
O
Z
1
•
O
Z
2
=
z
1
•
z
2
其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的编号).
题型:填空题
难度:简单
|
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已知关于x的方程lnx-ax=0恰有一个实根,则实数a的取值范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
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