已知函数f（x）=x2-（k-2）x+k2+3k+5有两个零点：（1）若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；（2）若函数的两个零点是α和β，求α2+β2的取值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有两个零点：
（1）若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；
（2）若函数的两个零点是α和β，求α²+β²的取值范围．

答案

（1）：∵-1和-3是函数f（x）的两个零点
∴-1和-3是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实数根（2分）
则：

-1-3=k-2 -1×(-3)=k2+3k+5

解的k=-2（4分）
（2）：若函数的两个零点为α和β，
则α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两根
∴

a+β=k-2 aβ=k2+3k+5 △=(k-2)2-4×(k2+3k+5)≥0

（7分）
则

α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6 -4≤k≤- 4 3

∴α2+β2在区间[-4，-

4

3

]上的最大值是18，最小值

50

9

（11分）
即：α2+β2的取值范围为[

50

9

，18]（12分）