已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三

已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三

题型:解答题难度:一般来源:山东省期末题
已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值.
答案
解:(Ⅰ)f"(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna
由于a>1,
故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax﹣1>0,
所以f"(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
(Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为f"(0)=0,且f"(x)在R上单调递增,
故f"(x)=0有唯一解x=0
所以x,f"(x),f(x)的变化情况如表所示:
  
又函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,
所以方程f(x)=t±1有三个根,而t+1>t﹣1,
所以t﹣1=(f(x))min=f(0)=1,
解得t=2.
举一反三
设函数f(x)=|1﹣|(x>0).
(1)作出函数f(x)=|1﹣|(x>0)的图象;
(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求+的值;
(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.
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若x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2﹣a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若,求函数f(x)的解析式;
(2)若,求b的最大值.
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若函数y=f(x)存在反函数,则方程f(x)=m(m为常数)[     ]
A.有且只有一个实根
B.至少有一个实根
C.至多有一个实根
D.没有实数根
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为[     ]
A.6
B.7
C.8
D.9
题型:单选题难度:一般| 查看答案
使方程2﹣sin2x=m(2+sin2x)有解,则m的取值范围是(    )
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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