(1)f′(x)=+=, 若a≥0,则f′(x)>0,f(x)在定义域内单调递增;若a≤-1, 则f′(x)<0,f(x)在定义域内单调递减;若-1<a<0,由f′(x)=0 解得,x1=,x2=, 直接讨论f′(x)知,f(x)在[0,) 和(,+∞)单调递减, 在[,]单调递增. (2)观察得f(0)=0,a=-时, 由①得f(x)在[0,7-4)单调递减, 所以f(x)在[0,7-4)上有且只有一个零点; f(x1)=f(7-4)<f(0)=0, 计算得f(x2)=f(7+4)=ln(8+4)-(2+)>lne2-2=0, f(x1)f(x2)<0且f(x)在区间[7-4,7+4]单调递增, 所以f(x)在[7-4,7+4]上有且只有一个零点; 根据对数函数与幂函数单调性比较知, 存在充分大的M∈R,使f(M)<0,f(x2)f(M)<0 且f(x)在区(7+4,+∞)单调递减, 所以f(x)在(7+4,7M)上 从而在(7+4,+∞)上有且只有一个零点. 综上所述,a=-时,f(x)有3个零点. (3)取a=-1,f(x)=ln(1+x)-, 由①得f(x)单调递减, 所以∀x>0,f(x)<f(0)=0,ln(1+x)<, 从而ln(1+)(1+)…(1+) =ln(1+)ln(1+)+…(1+) <++…+=1-<1, 由lnx单调递增得(1+)(1+)••(1+)<e. |