设函数f(x)=x-ln(x+m),其中m为实常数.(Ⅰ)当m为何值时,f(x)≥0;(Ⅱ)证明:当m>1时,函数f(x)在[e-m-m,e2m-m]内有两个零

设函数f(x)=x-ln(x+m),其中m为实常数.(Ⅰ)当m为何值时,f(x)≥0;(Ⅱ)证明:当m>1时,函数f(x)在[e-m-m,e2m-m]内有两个零

题型:解答题难度:一般来源:陕西一模
设函数f(x)=x-ln(x+m),其中m为实常数.
(Ⅰ)当m为何值时,f(x)≥0;
(Ⅱ)证明:当m>1时,函数f(x)在[e-m-m,e2m-m]内有两个零点.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞),
f′(x)=1-
1
x+m
=
x-(1-m)
x+m
,令f"(x)=0,得x=1-m.------------(2分)
当x∈(-m,1-m)时,f"(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m,+∞)时,f"(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)---(4分)
根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m为极小值,
而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m.
故当m≤1时,f(x)≥0.---------------(6分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当m>1时,f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在[e-m-m,1-m]上为减函数.
f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0
所以当m>1时,f(e-m-m)与f(1-m)异号.
由函数零点判定定理知,函数f(x)在区间(e-m-m,1-m)内有唯一零点.----------(9分)
而当m>1时,f(e2m-m)=e2m-3m.
令g(x)=e2x-3x(x>1),则g′(x)=2e2x-3(x>1)>2e2-3>0,
那么函数g(x)在区间(1,+∞)上递增.于是g(x)>g(1)=e2-3>0,从而f(e2m-m)=e2m-3m>0.--(11分)
所以,当整数m>1时,函数f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为增函数且f(1-m)与f(e2m-m)异号,
所以函数f(x)在区间[1-m,e2m-m]内也有唯一零点.
综上,当m>1时,函数f(x)在区间[e-m-m,e2m-m]内有两个零点.------------(14分)
举一反三
已知函数f(x)=





x(x+1),x<0
x(x-1),x≥0
,则函数f(x)的零点个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
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方程2x-
1
x
=0
的解所在区间一定是(  )
A.(0.4,0.5)B.(0.5,0.6)C.(0.6,0.7)D.(0.7,0.8)
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若方程(
1
2
)x
=x
1
3
有实数解x0,则x0属于(  )
A.(0,
1
3
B.(
1
3
1
2
C.(
1
2
,1)
D.(1,2)
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函数f(x)=3x+
1
2
x-2的零点所在的一个区间是(  )
A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
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函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间是(  )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
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