已知(x2-15x3)51的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x

题型：填空题难度：简单来源：河西区一模

已知(x2-

1

5 x3

)51的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是______．

答案

∵(x2-

1

5 x3

)5的常数项为

C

25

×

1

5

=2
∴f（x）是以2为周期的偶函数
∵区间[-1，3]是两个周期
∴区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意
当k≠0时，∵r（-1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤

1

4

故答案为：(0，

1

4

]