已知函数f（x）=3x3-4x+a+1，有三个相异的零点，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=3x³-4x+a+1，有三个相异的零点，则实数a的取值范围是______．

答案

∵函数f（x）=3x³-4x+a+1，有三个相异的零点
∴函数f（x）=3x³-4x+a+1的极大值与极小值异号．
∵f′（x）=9x²-4
∴f′（x）=0时，x=±

2

3

当函数在(-∞，-

2

3

)，(

2

3

，+∞)时，函数为单调增函数，当函数在(-

2

3

，

2

3

)时，函数为单调减函数，
∴x=-

2

3

时，函数取得极大值，x=

2

3

时，函数取得极小值
∴f(-

2

3

)f(

2

3

)＜0
∴(a+

25

9

)(a-

7

9

)＜0
∴-

25

9

＜a＜

7

9

∴实数a的取值范围是 (-

25

9

，

7

9

)
故答案为：(-

25

9

，

7

9

)