(本题满分13分)设函数,且,,求证:(1)且;(2)函数在区间内至少有一个零点;(3)设是函数的两个零点,则.

(本题满分13分)设函数,且,,求证:(1)且;(2)函数在区间内至少有一个零点;(3)设是函数的两个零点,则.

题型:解答题难度:简单来源:不详
(本题满分13分)设函数,且,求证:(1)
(2)函数在区间内至少有一个零点;
(3)设是函数的两个零点,则.
答案
(1)根据,求出,再根据即可得证;(2)先求出,根据零点存在定理分讨论即可得证;
(3)利用韦达定理和第(1)问的结论即可得证.
解析

试题分析:(1),,
,,                                ……2分
.            ……4分
(2)
①当时,
函数在区间内至少有一个零点
②当时,
函数在区间内至少有一个零点
综上所述:函数在区间内至少有一个零点。                    ……8分
(3)是函数的两个零点,

.                             ……13分
点评:证明此类问题时,要充分利用不等式的性质和题设条件,尽量每一步都做到言之有据.
举一反三
(本小题满分14分)
已知函数f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2)),其中x1>0.
①求证:x1>1>x2
②若当x≥x1时,关于x的不等式ax2-x+xe+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,当时,,且在上单调递减,在上单调递增,则函数上的零点个数为         
题型:填空题难度:简单| 查看答案
,定义,则函数是(   )
A.奇函数但非偶函数;B.偶函数但非奇函数;
C.既是奇函数又是偶函数;D.非奇非偶函数

题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数是增函数,在(0,1)为减函数.
(I)求的表达式;
(II)求证:当时,方程有唯一解;
(Ⅲ)当时,若内恒成立,求的取值范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
(本小题满分12分)
已知函数
(1)若,求的单调区间;
(2)若恒成立,求的取值范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
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