(本题满分13分)设函数满足:都有,且时,取极小值(1)的解析式;(2)当时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直;(3)设, 当时,求函数的最小值,
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(本题满分13分)设函数满足:都有,且时,取极小值(1)的解析式;(2)当时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直;(3)设, 当时,求函数的最小值,
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本题满分13分)设函数
满足:
都有
,且
时,
取极小值
(1)
的解析式;
(2)当
时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直;
(3)设
, 当
时,求函数
的最小值,并指出当
取最小值时相应的
值.
答案
(1)
(2) 根据题意可知,由于
,设:任意两数
是函数
图像上两点的横坐标,则这两点处的切线的斜率分别是:
,那么可以判定斜率之积不是-1,说明不能垂直
(3) 故当
时,
有最小值
解析
试题分析:解:(
)因为,
成立,所以:
,
由:
,得
,
由:
,得
解之得:
从而,函数解析式为:
(4分)
(2)由于,
,设:任意两数
是函数
图像上两点的横坐标,则这两点处的切线的斜率分别是:
又因为:
,所以,
,得:
知:
故,当
是函数
图像上任意两点处的切线不可能垂直 (8分)
(3)当
时,
且
此时
(11分)
当且仅当:
即
即,取等号,
所以
故当
时,
有最小值
(13分)
(或
)
点评:解决的关键是利用导数的符号确定出函数单调性,以及函数的极值,从而比较极值和端点值的函数值得到最值,属于基础题。
举一反三
(本小题满分12分)
已知函数
.
(1)判断函数
在定义域上的单调性;
(2)利用题(1)的结论,,求使不等式
在
上恒成立时的实数
的取值范围?
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
若
,不等式
的解集为
,关于
的不等式
的解集记为
,已知
是
的充分不必要条件,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数
在区间[-2,2]上的值域是
___________
_
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
(12分)已知
,若
满足
,
(1)求实数
的值; (2)判断函数的单调性,并加以证明。
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
(本小题满分12分)已知函数
(1)若
对一切实数
x
恒成立,求实数
a
的取值范围。
(2)求
在区间
上的最小值
的表达式。
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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