已知函数y=2•32x-1的图象恒过定点P，若幂函数f（x）=xa的图象也过点P．（1）求实数a的值；（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）内

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=

2

•32x-1的图象恒过定点P，若幂函数f（x）=x^a的图象也过点P．
（1）求实数a的值；
（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

答案

（1）由已知P（

1

2

，

2

），
∴f（

1

2

）=

2

，
∴（

1

2

）^a=

2

，
∴a=-

1

2

，
（2）f（x）=x -

1

2

设0＜x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=x₁ -

1

2

-x₂ -

1

2

=

x2 - x1

x1x2

=

x2-x1

x1x2 ( x1 + x2 )

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

x1x2

(

x1

+

x2

)＞0，
所以f（x₁）-f（x）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．