美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销

题型：解答题难度：一般来源：不详

美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=3-

2

x+1

，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为4+

20

P

元．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价-成本-促销费）；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

答案

（1）根据利润=总售价-成本-促销费，可得y=P（4+

20

P

）-（10+2P）-x
∵P=3-

2

x+1

，∴y=16-

4

x+1

-x，即y=17-(

4

x+1

+x+1)，（x≥0）；
（2）∵x≥0，∴x+1≥1，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-4=13，当且仅当

4

x+1

=x+1，即x=1万元时，y取得最大值13万元
∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大