已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．（1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式

题型：解答题难度：一般来源：扬州模拟

已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．
（1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1：3的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

答案

解（1）依题意，设y=kω²（ω＞0），
当ω=3时，y=54000，代入上式，得：k=6000，
故y=6000ω²（ω＞0）．

（2）设这块矿石的重量为a克，由（1）可知，
按重量比为1：3切割后的价值为；6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2，
价值损失为；6000a2-(6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2)，
价值损失的百分率为；

6000a2-[6000( 1 4 a)2+6000( 3 4 a)2]

6000a2

×100%=37.5%．

（3）解法1：若把一块该种矿石按重量比为m：n切割成两块，价值损失的百分率应为；1-[(

m

m+n

)2+(

n

m+n

)2]=

2mn

(m+n)2

，又

2mn

(m+n)2

≤

2•( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

，
当且仅当m=n时取等号，即重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．
解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为x：1，则价值损失的百分率为；1-[(

x

1+x

)2+(

1

1+x

)2]=

2x

x2+2x+1

，又x＞0，∴x²+1≥2x，
故

2x

x2+2x+1

≤

2x

2x+2x

=

1

2

，当且仅当x=1时等号成立．
答：（1）函数关系式y=6000ω²（ω＞0）；
（2）价值损失的百分率为37.5%；
（3）故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．