如图所示，将一个长为8m，宽为5m的长方形剪去四个相同的边长为xm的正方形，然后再将所得图形围成一个无盖长方体，试求x为多少时，长方体的体积最大？最大体积为多少

题型：解答题难度：一般来源：不详

如图所示，将一个长为8m，宽为5m的长方形剪去四个相同的边长为xm的正方形，然后再将所得图形围成一个无盖长方体，试求x为多少时，长方体的体积最大？最大体积为多少？

答案

根据题意边长为xm的正方形，容器的体积为f（x），
则有V=f（x）=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜2.5）
求导可得到：V′=12x²-52x²+40，
由V′=12x²-52x²+40=0得x₁=1，x₂=

10

3

（舍去）．
所以当x＜1时，V′＞0，
当1＜x＜

10

3

时，V′＜0，
当x＞

10

3

时，V′＞0，
所以，当x=1，V有极大值f（1）=18，又f（0）=0，f（2.5）=0，
所以当x=1，V有最大值f（1）=18．