某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套进行促销．在一年内，据测算销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系是S=5-2x．已知羊皮手套的固定投

题型：解答题难度：一般来源：不详

某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套进行促销．在一年内，据测算销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系是S=5-

2

x

．已知羊皮手套的固定投入为6万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入25万元．（年销售收入=年生产成本的120%+年广告费的50%）．
（I）将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（II）当年广告费投入为多少万元时，此厂的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费）．（结果保留两位小数）（参考数据：

3

=1.732，

5

=2.236，

6

=2.449）

答案

（I）由题意知，羊皮手套的年成本为（25S+6）万元，
年销售收入为（25S+6）×120%+x•50%，
年利润为L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，
即L=

1

5

(25S+6)-

1

2

x．
又S=5-

2

x

，所以L=5S+

6

5

-

1

2

x=5(5-

2

x

)+

6

5

-

1

2

x=

131

5

-

10

x

-

1

2

x(x＞0)．
（II）由（I）知，L=

131

5

-

10

x

-

1

2

x=26.2-(

10

x

+

x

2

)≤26.2-2

10 x • x 2

．26.2-2

5

=26.2-2×2.236=21.728≈21.73．
当且仅当

10

x

=

x

2

，即x=2

5

=2×2.236≈4.47时，L有最大值21.73．
因此，当年广告费投入约为4.47万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为21.73万元．