已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).(1)求g(x)的解析式及定义域;(2)求函数g(x)的最大值和最小值.

已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).(1)求g(x)的解析式及定义域;(2)求函数g(x)的最大值和最小值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).
(1)求g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
答案
(1)∵f(x)=2x
∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.(3")
因为f(x)的定义域是[0,3],
所以





0≤2x≤3
0≤x+2≤3

解之得0≤x≤1.
于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}.(或写成[0,1],否则扣1分)(6")
(2)设g(x)=(2x2-4×2x
=(2x-2)2-4.(8")
∵x∈[0,1],
即2x∈[1,2],
∴当2x=2即x=1时,
g(x)取得最小值-4;(10")
当2x=1即x=0时,
g(x)取得最大值-3.(12")
举一反三
我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);
(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
我国是水资源比较贫乏的国家之一.目前,某市就节水问题,召开了市民听证会,并对水价进行激烈讨论,会后拟定方案如下:以户为单位,按月收缴,水价按照每户每月用水量分三级管理,第一级为每月用水量不超过12吨,每吨3.5元;第二级计量范围为超过12吨不超过18吨部分,第三级计量范围为超出18吨的部分,一、二、三级水价的单价按1:3:5计价.
(1)请写出每月水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系;
(2)某户居民当月交纳水费为63元,该户当月用水多少吨?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny-1=0(m>0且n>0)上,则
1
m
+
4
n
的最小值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
为了保护一件珍贵文物,博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米气体费用1千元;②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元.
(1)求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;
(2)求博物馆支付总费用的最小值.
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