已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：广东

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

答案

函数y=c^x在R上单调递减⇔0＜c＜1．
不等式x+|x-2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
∵x+|x-2c|=

2x-2c     x≥2c 2c            x＜2c

∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c．
∴不等式x+|x-2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞

1

2

．
如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤

1

2

．
如果P不正确，且Q正确，则c≥1．
∴c的取值范围为（0，

1

2

]∪[1，+∞）．