已知函数f（x）=loga（1-x）+loga（x+3）（0＜a＜1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为-1，求a的值．

答案

（1）要使函数有意义：则有

1-x＞0 x+3＞0

，
解之得：-3＜x＜1，
∴函数的定义域为：（-3，1）．
（2）函数可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)，
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，x=-1±

3

．
∵-1±

3

∈(-3，1)，
∴f（x）的零点是-1±

3

．
（3）函数可化为：f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4．
∵0＜a＜1，
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4，
即f（x）_min=log_a4，由log_a4=-1，求得a^-1=4，∴a=

1

4

．