已知函数f(x)=lg2xax+b,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f(1x)=lgx(1)求f(x)的表达式;(2)设不等式f(x)≤lgt的解集为A
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已知函数f(x)=lg2xax+b,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f(1x)=lgx(1)求f(x)的表达式;(2)设不等式f(x)≤lgt的解集为A
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lg
2x
ax+b
,f(1)=0
,当x>0时,恒有
f(x)-f(
1
x
)=lgx
(1)求f(x)的表达式;
(2)设不等式f(x)≤lgt的解集为A,且A⊆(0,4],求实数t的取值范围.
(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为∅,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵当x>0时,
f(x)-f(
1
x
)=lgx
恒成立
∴
lg
2x
ax+b
-lg
2
bx+a
=lgx
,
即(a-b)x
2
-(a-b)x=0恒成立,
∴a=b(2分)
又f(1)=0,即a+b=2,从而a=b=1,
∴
f(x)=lg
2x
1+x
(4分)
(2)由不等式f(x)≤lgt,
即
lg
2x
1+x
≤lgt⇒
(2-t)x-t
1+x
≤0
且
2x
1+x
>0
(6分)
由于解集A⊆(0,4],故0<t<2,(7分)
所以
A=(0,
t
2-t
]⊆(0,4]
即
t
2-t
≤4⇒t≤
8
5
,(8分)
又因为0<t<2,所以实数t的取值范围是
(0,
8
5
]
(10分)
(3)由
lg
2x
1+x
=lg(8x+m)
⇒
2x
1+x
=8x+m
2x
1+x
>0
⇒
8
x
2
+(6+m)x+m=0
x<-1或x>0
(12分)
方程的解集为∅,故有两种情况:
①方程8x
2
+(6+m)x+m=0无解,即△<0,得2<m<18(14分)
②方程8x
2
+(6+m)x+m=0有解,两根均在[-1,0]内,g(x)=8x
2
+(6+m)x+m
则
△≥0
g(-1)≥0
g(0)≥0
-1≤
-6-m
16
≤0
⇒
m≤2或m≥18
-6≤m≤10
⇒0≤m≤2
(17分)
综合①②得实数m的取值范围是0≤m<18(18分)
举一反三
若lgx+lgy=1,则
1
x
+
1
y
的最小值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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函数y=log
a
(x-3
)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线
x
n
+
y
m
=1
上,其中mn>0,则m+n的最小值为( )
A.9
B.8
C.3
D.27
题型:单选题
难度:简单
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已知
f(x)=
2
x
,(x≤1)
lg(x-1),(x>1)
,则f(f(1))=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设x
1
,x
2
是方程ln|x|=m(m是常数)的两根,则x
1
+x
2
的值为( )
A.-1
B.1
C.0
D.与m有关
题型:单选题
难度:简单
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化简(log
3
63-2log
3
7
)•
lo
g
8
9
lo
g
2
3
的值是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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