已知函数f(x)的定义域是{x|x∈R,x≠k2,k∈Z}且f(x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-1f(x),当0<x<12时,f(x)=3x.(1)求证
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已知函数f(x)的定义域是{x|x∈R,x≠k2,k∈Z}且f(x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-1f(x),当0<x<12时,f(x)=3x.(1)求证
题型:解答题
难度:一般
来源:普宁市模拟
已知函数f(x)的定义域是
{x|x∈R,x≠
k
2
,k∈Z}
且f(x)+f(2-x)=0,
f(x+1)=-
1
f(x)
,当
0<x<
1
2
时,f(x)=3
x
.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)求f(x)在区间
(2k+
1
2
,2k+1)(k∈
Z)上的解析式;
(3)是否存在正整数k,使得当x∈
(2k+
1
2
,2k+1)
时,不等式log
3
f(x)>x
2
-kx-2k有解?证明你的结论.
答案
(1)由
f(x+1)=-
1
f(x)
得
f(x+2)=-
1
f(x+1)
=f(x)
,(3分)
由f(x)+f(2-x)=0得f(x)+f(-x)=0,(4分)
故f(x)是奇函数.(5分)
(2)当x∈
(
1
2
,1)
时,
1-x∈(0,
1
2
)
,
∴f(1-x)=3
1-x
. (7分)
而
f(1-x)=-
1
f(-x)
=
1
f(x)
,
∴f(x)=3
x-1
. (9分)
当x∈
(2k+
1
2
,2k+1)(k∈
Z)时,
x-2k∈(
1
2
,1)
,
∴f(x-2k)=3
x-2k-1
,
因此f(x)=f(x-2k)=3
x-2k-1
. (11分)
(3)不等式log
3
f(x)>x
2
-kx-2k即为x-2k-1>x
2
-kx-2k,
即x
2
-(k+1)x+1<0. (13分)
令g(x)=x
2
-(k+1)x+1,对称轴为
x=
k+1
2
<2k+
1
2
,
因此函数g(x)在
(2k+
1
2
,2k+1)
上单调递增. (15分)
因为
g(2k+
1
2
)=(2k+
1
2
)
2
-(k+1)(2k+
1
2
)+1=(2k+
1
2
)(k-
1
2
)+1
,又k为正整数,
所以
g(2k+
1
2
)>0
,因此x
2
-(k+1)x+1>0在
(2k+
1
2
,2k+1)
上恒成立,(17分)
因此不存在正整数k使不等式有解. (18分)
举一反三
已知lg2=a,lg3=b,则
lg
3
2
=( )
A.a-b
B.b-a
C.
b
a
D.
a
b
题型:单选题
难度:简单
|
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lg2+lg5=( )
A.lg7
B.lg25
C.1
D.lg2×lg5
题型:单选题
难度:简单
|
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若
f(x)=lo
g
a
(a
x
2
-ax+
1
2
)
在[1,
3
2
]上恒正,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数y=log
a
(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在mx+ny+2=0上,其中mn>0,则
1
m
+
1
n
的最小值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=|log
a
x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n-m的最小值为
1
3
,则实数a的值为( )
A.
1
3
或
2
3
B.
2
3
或
3
4
C.
1
4
或
1
3
D.
1
4
或
3
4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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