已知函数f（x）=|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为2，则m+n=______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，则m+n=______．

答案

∵f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴-log₃m=log₃n，∴mn=1．
∵f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，函数f（x）在[m，1）上是减函数，在（1，n²]上是增函数，
∴-log₃m=2，或log3n2=2．
若-log₃m=2，则m=3^-2=

1

9

，故n=9，n²=81，故f（x）在区间[m，n²]上的最大值为log₃81=4，不满足条件．
若log3n2=2，则n=3，m=

1

3

，由于|log₃m|=1＜2，故满足f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，
综合可得 m=

1

3

，n=3，故n+m=

10

3

，
故答案为

10

3

．