已知函数f(x)=2xx+1,f-1(x)为f(x)的反函数(1)求f-1(x);(2)设k<2,解关于x的不等式x•f-1(x)<(k+1)x-k2-x.
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已知函数f(x)=2xx+1,f-1(x)为f(x)的反函数(1)求f-1(x);(2)设k<2,解关于x的不等式x•f-1(x)<(k+1)x-k2-x.
题型:解答题
难度:一般
来源:眉山一模
已知函数
f(x)=
2x
x+1
,f
-1
(x)为f(x)的反函数
(1)求f
-1
(x);
(2)设k<2,解关于x的不等式
x•
f
-1
(x)<
(k+1)x-k
2-x
.
答案
(1)由
y=
2x
x+1
=
2(x+1)-2
x+1
=2-
2
x+1
≠2
,(2分)
y(x+1)=2x⇒(2-y)x=y⇒x=
y
2-y
,(4分)
故
f
-1
(x)=
x
2-x
,(x≠2)
;(5分)
(2)由(1)知不等式
x•
f
-1
(x)<
(k+1)x-k
2-x
⇔
x
2
-(k+1)x+k
2-x
<0
⇔
(x-k)(x-1)
2-x
<0
⇔(x-k)(x-1)(x-2)>0.(*)(7分)
①当k<1时,(*)⇔k<x<1或x>2(8分)
②当k=1时,(*)⇔(x-1)
2
(x-2)>0⇔x>2(9分)
③当1<k<2时,(*)⇔1<x<k或x>2(10分)
综上:当k<1时,不等式解集为{x|k<x<1或x>2};
当k=1时,不等式解集为{x|x>2};
当1<k<2时,不等式解集为{x|1<x<k或x>2}.(12分)
举一反三
函数
f(x)=
1
x-2
的反函数为f
-1
(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)的定义域为R,它的反函数为f
-1
(x),如果f
-1
(x+a)与f(x+a)互为反函数,且f(a)=a(a≠0),则f(2a)的值为( )
A.-a
B.0
C.a
D.2a
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数y=f(x)存在反函数y=f
-1
(x),且函数y=2x-f(x)的图象过点(2,1),则函数y=f
-1
(x)-2x的图象一定过点( )
A.(3,2)
B.(-2,3)
C.(-4,3)
D.(3,-4)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数y=1og
2
(x
2
+2)(x≤0)的反函数是( )
A.y=
2
x
+2
(x≥0)
B.y=-
2
x
+2
(x≥0)
C.y=
2
x
-2
(x≥1)
D.y=-
2
x
-2
(x≥1)
题型:单选题
难度:一般
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查看答案
设函数
f(x)=
2-
(
1
2
)
x
,x≤0
lo
g
2
(x+2),x>0
的反函数为y=f
-1
(x),若f
-1
(a)≥4,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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