已知函数f(x)=2xx+1,f-1(x)为f(x)的反函数(1)求f-1(x);(2)设k<2,解关于x的不等式x•f-1(x)<(k+1)x-k2-x.

已知函数f(x)=2xx+1,f-1(x)为f(x)的反函数(1)求f-1(x);(2)设k<2,解关于x的不等式x•f-1(x)<(k+1)x-k2-x.

题型:解答题难度:一般来源:眉山一模
已知函数f(x)=
2x
x+1
,f-1(x)为f(x)的反函数
(1)求f-1(x);
(2)设k<2,解关于x的不等式x•f-1(x)<
(k+1)x-k
2-x
答案
(1)由y=
2x
x+1
=
2(x+1)-2
x+1
=2-
2
x+1
≠2
,(2分)
y(x+1)=2x⇒(2-y)x=y⇒x=
y
2-y
,(4分)
f-1(x)=
x
2-x
,(x≠2)
;(5分)
(2)由(1)知不等式x•f-1(x)<
(k+1)x-k
2-x

x2-(k+1)x+k
2-x
<0
(x-k)(x-1)
2-x
<0

⇔(x-k)(x-1)(x-2)>0.(*)(7分)
①当k<1时,(*)⇔k<x<1或x>2(8分)
②当k=1时,(*)⇔(x-1)2(x-2)>0⇔x>2(9分)
③当1<k<2时,(*)⇔1<x<k或x>2(10分)
综上:当k<1时,不等式解集为{x|k<x<1或x>2};
当k=1时,不等式解集为{x|x>2};
当1<k<2时,不等式解集为{x|1<x<k或x>2}.(12分)
举一反三
函数f(x)=
1
x-2
的反函数为f-1(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域为R,它的反函数为f-1(x),如果f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数,且f(a)=a(a≠0),则f(2a)的值为(  )
A.-aB.0C.aD.2a
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),且函数y=2x-f(x)的图象过点(2,1),则函数y=f-1(x)-2x的图象一定过点(  )
A.(3,2)B.(-2,3)C.(-4,3)D.(3,-4)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=1og2(x2+2)(x≤0)的反函数是(  )
A.y=


2x+2
(x≥0)
B.y=-


2x+2
(x≥0)
C.y=


2x-2
(x≥1)
D.y=-


2x-2
(x≥1)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=





2-(
1
2
)
x
,x≤0
log2(x+2),x>0
的反函数为y=f-1(x),若f-1(a)≥4,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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