已知函数f(x)=2x+a的反函数是y=f-1(x).设P(x+a,y1),Q(x,y2),R(2+a,y3)是y=f-1(x)图象上不同的三点.(1)如果存在
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x+a的反函数是y=f-1(x).设P(x+a,y1),Q(x,y2),R(2+a,y3)是y=f-1(x)图象上不同的三点. (1)如果存在正实数x,使y1、y2、y3成等差数列,试用x表示实数a; (2)在(1)的条件下,如果实数x是唯一的,试求实数a的取值范围. |
答案
(1)f-1(x)=log2(x-a),(x>a),y1=log2a,y2=log2(x-a), y3=log22=1由题意,2log2(x-a)=log2x+1(x-a)2=2x,a=x-,x∈(0,2)∪(2,+∞) (2)由题意:关于x的方程(x-a)2=2x即x2-2(a+1)x+a2=0在(a,+∞)上有唯一解. 10,当判别式△=0时,a=-,这时方程有唯一解x=满足条件; 20,当判别式△>0时,方程的一个根大于a, 另一根小于a(不可能出现一根等于a的情形), 记g(x)=x2-2(a+1)x+a2,只需g(a)<0即可,得a>0. 解得:a>0或a=- |
举一反三
(文)函数y=x2(x≤0)的反函数是______. |
(理)函数y=x2+1(x≤0)的反函数是______. |
已知函数f(x)=log2(x2+1)(x≤0),则f-1(2)=______. |
若f(x)的反函数f-1(x)=x2+1(x<0),则f(2)=______. |
已知函数f(x)=2x+1的反函数为f-1(x),则f-1(x)<0的解集为______. |
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