已知函数f（x）=sin（x+π6）+sin（x-π6）+cosx+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在[-π2，π

题型：广东模拟难度：来源：

已知函数f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最大值与最小值之和为

3

，求实数a的值．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx+a
=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

+cosx+a
=

3

sinx+cosx+a=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）+a=2sin（x+

π

6

）+a，（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴-

π

3

≤x+

π

6

≤

2π

3

，
∴当x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

2

时，f（x）的最小值=f（-

π

2

）=-

3

+a，（8分）
当x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）的最大值=f（

π

3

）=2+a，（10分）
由题意，有（-

3

+a）+（2+a）=

3

，
∴a=

3

-1．（12分）