设函数f(x)=cos2x-sin2x+23sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．（1）求M、T；（2）若有10个互不相等的正数xi满足f（x

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M、T；
（2）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

答案

依题意得：f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）∵x∈R，∴f（x）_max=M=2，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由f（x_i）=M=2得：2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x_i=kπ+

π

6

，k∈Z，
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，2，…，9，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（1+2+…+9）π+10×

π

6

=

140

3

π．