已知函数y=sin6x+cos6x （x∈R），用公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）将其化简，并求其周期、最小值和单调递减区间．

题型：解答题难度：一般来源：宣城模拟

已知函数y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）将其化简，并求其周期、最小值和单调递减区间．

答案

∵y=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=1•（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-

3

4

sin²2x
=

5

8

+

3

8

cos4x…（6分），
∴周期T=

2π

4

 …（7分），
 最小值为：

5

8

-

3

8

=

1

4

…（9分）
由2kπ≤4x≤2kπ+π，（k∈Z）得：

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

π

4

，（k∈Z）
∴单调递减区间[

kπ

2

，

kπ

2

+

π

4

]，（k∈Z）…（12分）     注：丢掉k∈Z扣1分．