已知函数f(x)=12sinx+32cosx．（I）求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，π]上的值域；（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx．
（I）求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，π]上的值域；
（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C．

答案

（I）∵f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)…（2分）
∴f（x）的最小正周期为2π．                 …（3分）
因为x∈[0，+∞]，所以x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，…（4分）
所以f（x）值域为[-

3

2

，1]．                 …（6分）
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+

π

3

)，∴sin(A+

π

3

)=

3

2

…（7分）
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

…（8分）
∴A+

π

3

=

2π

3

，得A=

π

3

．                  …（9分）
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，…（10分）
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，∴sinB=1，…（11分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

2

…（12分）
∴C=π-A-B=

π

6

．                      …（13分）