已知函数g(x)=sin(x+π6)，f(x)=2cosx•g(x)-12（1）求函数f（x）的最小正周期及其对称中心坐标；（2）当x∈[0，π2]时，求函数f

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数g(x)=sin(x+

π

6

)，f(x)=2cosx•g(x)-

1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期及其对称中心坐标；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（3）由y=sinx可以按照如下变换得到函数y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，写出①②的过程．

答案

函数g(x)=sin(x+

π

6

)，f(x)=2cosx•g(x)-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
（1）函数f（x）的最小正周期T=π，因为2x+

π

6

=kπ，所以对称中心坐标(

kπ

2

-

π

12

，0)．k∈Z．
（2）x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
函数f（x）的值域[-

1

2

，1]，
（3）由y=sinx可以按照如下变换得到函数y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，
①函数的图象向左平移

π

6

，②函数图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

．