在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB=34．（1）若ac=2，求a+c的值；（2）求1tanA+1tanC的值

题型：解答题难度：一般来源：泗阳县模拟

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB=

3

4

．
（1）若ac=2，求a+c的值；
（2）求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

答案

（1）因a，b，c成等比数列，所以b²=ac，再由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，代入可得a²+c²=5，则（a+c）²=a²+c²+2ac=9，所以a+c=3．
（2）化简

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

cosAsinC+sinAcosC

sinA•sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

又因b²=ac，则由正弦定理得sin²B=sinAsinC，代入上式，
有

1

tanA

+

1

tanC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．