在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，cosB=23．（Ⅰ） 求b的值；（Ⅱ） 求sin(2B-π3)的值

题型：解答题难度：一般来源：天津

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，cosB=

2

3

．
（Ⅰ） 求b的值；
（Ⅱ） 求sin(2B-

π

3

)的值．

答案

（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得bsinA=asinB，
又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，cosB=

2

3

，
即b²=3²+1²-2×3×cosB，
可得b=

6

．
（Ⅱ）由cosB=

2

3

，可得sinB=

5

3

，
所以cos2B=2cos²B-1=-

1

9

，
sin2B=2sinBcosB=

4 5

9

，
所以sin(2B-

π

3

)=sin2Bcos

π

3

-sin

π

3

cos2B=

4 5

9

×

1

2

-(-

1

9

)×

3

2

=

4 5 + 3

18

．