已知sin（x+π4）sin（π4-x）=16，x∈（π2，π），求sin4x的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知sin（x+

π

4

）sin（

π

4

-x）=

1

6

，x∈（

π

2

，π），求sin4x的值．

答案

∵sin（x+

π

4

）=sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

=

2

2

（sinx+cosx）
sin（x-

π

4

）=sinxcos

π

4

-cosxsin

π

4

=

2

2

（sinx-cosx）
∴sin（x+

π

4

）sin（

π

4

-x）=

1

2

（sin²x-cos²x）=

1

6

，可得sin²x-cos²x=

1

3

结合sin²x+cos²x=1解得sin²x=

2

3

，cos²x=

1

3

∵x∈（

π

2

，π），∴sinx=

6

3

，cosx=-

3

3

由此可得sin2x=2sinxcosx=-

2 2

3

，cos2x=cos²x-sin²x=

1

3

∴sin4x=2sin2xcos2x=2×（-

2 2

3

）×

1

3

=-

4 2

9