(理)设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<π2)是平面上的两个向量,若向量a+b与a-b相互垂直,(1)求

(理)设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<π2)是平面上的两个向量,若向量a+b与a-b相互垂直,(1)求

题型:解答题难度:一般来源:静安区一模
(理)设


a
=(cosα,(λ-1)sinα),


b
=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<
π
2
)
是平面上的两个向量,若向量


a
+


b


a
-


b
相互垂直,
(1)求实数λ的值;
(2)若


a


b
=
4
5
,且tanα=
4
3
,求α的值(结果用反三角函数值表示)
答案
(1)由题设,得(


a
+


b
)(


a
-


b
)=0

|


a
|2-|


b
|2=0

所以,(λ-1)2sin2α-sin2α=0,
即λ(λ-2)sin2α=0
因为0<α<
π
2

∴sin2α≠0,又λ>0,
所以λ-2=0,即λ=2;
(2)由(1)知,


a
=(cosα,sinα),


b
=(cosβ,sinβ)



a


b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)



a


b
=
4
5

cos(α-β)=
4
5

0<α<β<
π
2
,则-
π
2
<α-β<0

sin(α-β)=-
3
5
,tan(α-β)=-
3
4

tanα=tan[(α-β)+β]=
7
24

0<α<
π
2

α=arctan
7
24
举一反三
sin(α-π)=
3
5
,则cos2α=(  )
A.
16
25
B.
12
25
C.
9
25
D.
7
25
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
若α为第二象限角,则cotα


sec2α-1
+cosα


1-sin2α
+sinα


1-cos2α
=(  )
A.2sin2αB.-2cos2αC.0D.2
题型:卢湾区一模难度:| 查看答案
已知sinθ-cosθ=
1
5
,且0<θ<
π
2
,则tan2θ的值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知直线的倾斜角为θ,且sinθ=
4
5
,则此直线的斜率是(  )
A.
4
3
B.-
4
3
C.±
3
4
D.±
4
3
题型:山东模拟难度:| 查看答案
已知sinαcosα=
1
8
,0<α<
π
2
,则sinα+cosα
的值是(  )
A.


3
2
B.
1
4
C.-


3
2
D.


5
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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