在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a2+b2-2ab=c2，tanA-tanB=csc2A①求证：2A-B=π2；②求三角形ABC三个角的大小．

题型：解答题难度：一般来源：南充一模

在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a²+b²-

2

ab=c²，tanA-tanB=csc2A
①求证：2A-B=

π

2

；
②求三角形ABC三个角的大小．

答案

（1）∵tanA-tanB=csc2A，即

sinA

cosA

-

sinB

cosB

=

1

sin2A

∴

2sin2A-1

2sinAcosA

=

sinB

cosB

，可得-

cos2A

sin2A

=

cos( π 2 -B)

sin( π 2 -B)

即-tan2A=tan（

π

2

-B），得tan（-2A）=tan（

π

2

-B），
∵A、B∈（0，

π

2

），∴-2A+π=

π

2

-B，解之得2A-B=

π

2

；
（2）∵a²+b²-

2

ab=c²，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得cosC=

2

2

结合C∈（0，

π

2

），得C=

π

4

由三角形内角和定理，得A+B=

3π

4

根据（1）2A-B=

π

2

，联解得A=

5π

12

，B=

π

3

综上所述，三角形ABC三个角的大小分别为A=

5π

12

，B=

π

3

，C=

π

4

．