已知tan(π4+α)=12．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求sin2α-cos2α1+cos2α的值．

题型：解答题难度：一般来源：天津

已知tan(

π

4

+α)=

1

2

．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

sin2α-cos2α

1+cos2α

的值．

答案

（Ⅰ）tan(

π

4

+α)=

tan π 4 +tanα

1-tan π 4 tanα

=

1+tanα

1-tanα

，
由tan(

π

4

+α)=

1

2

，有

1+tanα

1-tanα

=

1

2

，解得tanα=-

1

3

；
（Ⅱ）解法一：

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

1+2cos2α-1

=

2sinα-cosα

2cosα

=tanα-

1

2

=-

1

3

-

1

2

=

5

6

．
解法二：由（1），tanα=-

1

3

，得sinα=-

1

3

cosα
∴sin2α=

1

9

cos2α1-cos2α=

1

9

cos2α，∴cos2α=

9

10

于是cos2α=2cos2α-1=

4

5

，
sin2α=2sinαcosα=-

2

3

cos2α=-

3

5

代入得

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

- 3 5 - 9 10

1+ 4 5

=-

5

6

．