点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,(1)求m与p的值;(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴与点N,求△

点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,(1)求m与p的值;(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴与点N,求△

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点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,
(1)求m与p的值;
(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴与点N,求△FMN的面积.
答案
(1)∵点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,
∴抛物线定义可知,|FM|=
p
2
+4=5

∴p=2,
∴抛物线的方程为x2=4y,
又∵M(m,4)在抛物线上,
∴m2=4×4,
∴m=4,
故p=2,m=4;
(2)由(1)可知,M(4,4),
由题意可知,切线的斜率k必定存在,
∴设过M点的切线方程为,y-4=k(x-4),
联立方程组可得,





x2=4y
y-4=k(x-4)

消去y可得,x2-4kx+16k-16=0,
∵直线为抛物线的切线,则直线与抛物线只有一个交点,
∴x2-4kx+16k-16=0只有一个根,
∴△=16k2-64(k-1)=0,
∴k=2,
∴切线方程为y=2x-4,
∴切线与y轴的交点为N(0,-4),且抛物线的焦点为F(0,1),
S△FMN=
1
2
|FN|•m=
1
2
×5×4=10

故△FMN的面积为10.
举一反三
已知曲线f(x)=ex在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,0),则x0的值为(  )
A.
1
e
B.1C.eD.10
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函数f(x)=
x4
4
-
x3
3
的极值点为(  )
A.0B.-1C.0或1D.1
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已知函数f(x)=
1
2
ax2
+2lnx,曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为4.
(1)求a的值及切线方程;
(2)点P(x,y)为曲线y=f′(x)上一点,求y-x的最小值.
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某同学对教材《选修2-2》上所研究函数f(x)=
1
3
x3-4x+4的性质进行变式研究,并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证(如图所示),根据你所学的知识,指出下列错误的结论是(  )
A.f(x)的极大值为f(-2)=
28
3
B.f(x)的极小值为f(2)=-
4
3
C.f(x)的单调递减区间为(-2,2)
D.f(x)在区间[-3,3]上的最大值为f(-3)=7

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已知函数y=x3-3x2
(1)求函数的极小值;
(2)求函数的递增区间.
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