点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,(1)求m与p的值;(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴与点N,求△
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点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5, (1)求m与p的值; (2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴与点N,求△FMN的面积. |
答案
(1)∵点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5, ∴抛物线定义可知,|FM|=+4=5, ∴p=2, ∴抛物线的方程为x2=4y, 又∵M(m,4)在抛物线上, ∴m2=4×4, ∴m=4, 故p=2,m=4; (2)由(1)可知,M(4,4), 由题意可知,切线的斜率k必定存在, ∴设过M点的切线方程为,y-4=k(x-4), 联立方程组可得,, 消去y可得,x2-4kx+16k-16=0, ∵直线为抛物线的切线,则直线与抛物线只有一个交点, ∴x2-4kx+16k-16=0只有一个根, ∴△=16k2-64(k-1)=0, ∴k=2, ∴切线方程为y=2x-4, ∴切线与y轴的交点为N(0,-4),且抛物线的焦点为F(0,1), ∴S△FMN=|FN|•m=×5×4=10, 故△FMN的面积为10. |
举一反三
已知曲线f(x)=ex在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,0),则x0的值为( ) |
已知函数f(x)=ax2+2lnx,曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为4. (1)求a的值及切线方程; (2)点P(x,y)为曲线y=f′(x)上一点,求y-x的最小值. |
某同学对教材《选修2-2》上所研究函数f(x)=x3-4x+4的性质进行变式研究,并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证(如图所示),根据你所学的知识,指出下列错误的结论是( )A.f(x)的极大值为f(-2)= | B.f(x)的极小值为f(2)=- | C.f(x)的单调递减区间为(-2,2) | D.f(x)在区间[-3,3]上的最大值为f(-3)=7 |
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已知函数y=x3-3x2. (1)求函数的极小值; (2)求函数的递增区间. |
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