已知函数f（x）=12ax2+2lnx，曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4．（1）求a的值及切线方程；（2）点P（x，y）为曲线y=f′（x）上一点，求y

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1

2

ax2+2lnx，曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4．
（1）求a的值及切线方程；
（2）点P（x，y）为曲线y=f′（x）上一点，求y-x的最小值．

答案

（1）∵f(x)=

1

2

ax2+2lnx，∴f′(x)=ax+

2

x

…2分
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4，
∴f"（1）=a+2=4…3分
∴a=2…4分
∴f（1）=1…5分
∴切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0…7分
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）…8分
∵点P（x，y）为曲线y=f"（x）上一点，
∴y-x=x+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

时，等号成立．…12分
∴y-x的最小值为2

2

．…13分．