已知函数f(x)=cos(-x2)+sin(π-x2),x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,

已知函数f(x)=cos(-x2)+sin(π-x2),x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=cos(-
x
2
)+sin(π-
x
2
),x∈R

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=
2


10
5
,b=1,c=2,求△ABC的面积.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=cos(-
x
2
)+sin(π-
x
2
)=cos
x
2
+sin
x
2
=


2
sin(
x
2
+
π
4
)

∴函数f(x)的最小正周期T=4π,
又由2kπ-
π
2
x
2
+
π
4
≤2kπ+
π
2
,∴4kπ-
2
≤x≤4kπ+
π
2
(k∈Z)

可得函数f(x)的单调递增区间为[4kπ-
2
,4kπ+
π
2
](k∈Z)
.…(6分)
(Ⅱ)解法一:由f(A)=
2


10
5
及(Ⅰ)可得sin(
A
2
+
π
4
)=
2


5
5

所以cos[2(
A
2
+
π
4
)]=1-2sin2(
A
2
+
π
4
)=-
3
5

sinA=
3
5
,∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
5
.…(12分)
解法二:由f(A)=
2


10
5
及(Ⅰ)可得sin(
A
2
+
π
4
)=
2


5
5

sin
A
2
+cos
A
2
=
2


10
5

(sin
A
2
+cos
A
2
)2=
8
5
,即sinA=
3
5

S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
5
.…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
-2


3
sin2
x
4
+


3

(1)求函数f(x)的最大值,并写出相应的x取值集合;
(2)令f(α+
π
3
)=


10
5
,且α∈(0,π),求tan2α的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=sin2x+asinxcosx-cos2x,且f(
π
4
)=1

(1)求常数a的值及f(x)的最小值;
(2)当x∈[0,
π
2
]
时,求f(x)的单调增区间.
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
在△ABC中,若tan
A-B
2
=
a-b
a+b
,则△ABC的形状是(  )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
题型:不详难度:| 查看答案
已知向量


a
=(sinx,cosx),


b
=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx),设函数f(x)=


a


b
-2.
(1)求函数f(x)的最大值,并求取得最大值时x的值;
(2)在A为锐角的△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若f(A)=4且△ABC的面积为3,b+c=2+3


2
,求a的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知sinx=2cosx,则
1
1+tan
x
2
-
1
1-tan
x
2
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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