已知函数f（x）=sin2x+asinxcosx-cos2x，且f(π4)=1（1）求常数a的值及f（x）的最小值；（2）当x∈[0，π2]时，求f（x）的单调

题型：武汉模拟难度：来源：

已知函数f（x）=sin²x+asinxcosx-cos²x，且f(

π

4

)=1
（1）求常数a的值及f（x）的最小值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的单调增区间．

答案

（1）∵f(

π

4

)=1，
∴sin2

π

4

+asin

π

4

cos

π

4

-cos2

π

4

=1
∴a=2
∴f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
当2x-

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈z，
即x=kπ-

π

8

，k∈z时sin(2x-

π

4

)取最小值-1，
从而f（x）取最小值-

2

．（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

即kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π；k∈z
又x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）在[0，

3

8

π]上的单调递增（12分）