设函数f（x）=a•b，其中向量a=（cosx2，sinx2） （x∈R），向量b=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜π2），f（x）的图象关于直线x=π6对称．

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（cos

x

2

，sin

x

2

） （x∈R），向量

b

=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜

π

2

），f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin

x

2

的图象按向量

c

=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函数y=f（x）的图象，求向量

c

．

答案

（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=cos

x

2

cosϕ+sin

x

2

sinϕ=cos（

x

2

-ϕ），
∵f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，
∴f(

π

6

)=cos(

π

12

-φ)=cos(φ-

π

12

)=±1，
∴φ-

π

12

=kπ，k∈Z，又|ϕ|＜

π

2

，∴ϕ=

π

12

．
（Ⅱ）f（x）=cos（

x

2

-

π

12

）=sin（

x

2

+

5π

12

）=sin

1

2

（x+

5π

6

），
由y=1+sin

x

2

平移到y=sin

1

2

（x+

5π

6

），只需向左平移

5π

6

单位，
再向下平移1个单位，考虑到函数的周期为π，且

c

=（m，n） （|m|＜π），
∴m=-

5π

6

，n=-1，即

c

=（-

5π

6

，-1）．
另f（x）=cos（

x

2

-

π

12

）=sin（

x

2

+

5π

12

）=sin

1

2

（x+

5π

6

），
由y-1=sin

x

2

平移到y′=sin

1

2

(x′+

5π

6

)，只要

x′+ 5π 6 =x y′=y-1

即

x′-x=- 5π 6 y′-y=-1

，
∴

c

=（-

5π

6

，-1）．