设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若x∈[0,π2],是否存在实数m,使函数f(x)的值域

设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若x∈[0,π2],是否存在实数m,使函数f(x)的值域

题型:浙江模拟难度:来源:
设函数f(x)=2cos2x+2


3
sinxcosx+m(x∈R)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈[0,
π
2
]
,是否存在实数m,使函数f(x)的值域恰为[
1
2
7
2
]
?若存在,请求出m的取值;若不存在,请说明理由.
答案
(I)由题意可得:
f(x)=2cos2x+2


3
sinxcosx+m
=1+cos2x+


3
sin2x+m
=2sin(2x+
π
6
)+m+1,
所以函数f(x)的最小正周期T=
2
=π.
(Ⅱ)假设存在实数m符合题意,∵x∈[0,
π
2
]

π
6
≤2x+
π
6
6
,则sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
…(9分)
f(x)=2sin(2x+
π
6
)+m+1∈[m,3+m]
…(10分)
又∵f(x)∈[
1
2
7
2
]
,解得  m=
1
2
…(13分)
∴存在实数m=
1
2
,使函数f(x)的值域恰为[
1
2
7
2
]
…(14分)
举一反三
已知三角形的三边长分别为4、6、8,则此三角形为(  )
A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
题型:单选题难度:一般| 查看答案
在△ABC中,已知a=2,b=3,C=60°,试证明△ABC为锐角三角形.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
+


3
cos
x
2

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若0≤x≤π,求f(x)的最大值和最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点p(x,y)是圆x2+y2-2y=0的动点,则3x+4y的最大值______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
在△ABC中,三条边长成等差数列且最小角的正弦值与最大角的正弦值之比为3:5,则△ABC是(  )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形
题型:不详难度:| 查看答案
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