在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA-3cosCcosB=3c-ab．（Ⅰ）求sinCsinA的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a

题型：解答题难度：一般来源：不详

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

cosA-3cosC

cosB

=

3c-a

b

．
（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

答案

（本小题满分14分）
（I）由正弦定理，设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，
则

3c-a

b

=

3ksinC-ksinA

ksinB

=

3sinC-sinA

sinB

，
所以

cosA-3cosC

cosB

=

3sinC-sinA

sinB

．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此

sinC

sinA

=3．…（8分）
（II）由

sinC

sinA

=3得c=3a．…（9分）
由题意

a+c＞b a2+c2＜b2

，…（12分）
∴

5

2

＜a＜

10

…（14分）