设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(x+y2)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．（Ⅰ

题型：解答题难度：一般来源：不详

设α∈(0，

π

2

)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(

1

2

)，f(

1

4

)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=

3

sin(α-2x)+cos(α-2x)的单调增区间．

答案

（Ⅰ）令x=1，y=0，f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=

1

2

，y=0，f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα=sin2α．
（Ⅱ）令x=1，y=

1

2

，f(

3

4

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(

1

2

)
=sinα+（1-sinα）sinα
=-sin²α+2sinα．
令x=

3

4

，y=

1

4

，f(

1

2

)=f(

3

4

)sinα+(1-sinα)f(

1

4

)=-2sin3α+3sin2α
∴-2sin³α+3sin²α=sinα
∴sinα=

1

2

∵α∈(0，

π

2

)
∴α=

π

6

；
（Ⅲ）g(x)=

3

sin(

π

6

-2x)+cos(

π

6

-2x)
=2sin(

π

6

-2x+

π

6

)=2sin(

π

3

-2x)=2sin(2x+

2π

3

)
要使g（x）单调增区间，
则2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

k∈z
∴单调增区间是：[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

](k∈z)．