已知函数f(x)=sinx2sin(π2+x2)（1）求函数f（x）在[-π，0]上的单调区间；（2）已知角α满足α∈(0，π2)，2f(2α)+4f(π2-2

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=sin

x

2

sin(

π

2

+

x

2

)
（1）求函数f（x）在[-π，0]上的单调区间；
（2）已知角α满足α∈(0，

π

2

)，2f(2α)+4f(

π

2

-2α)=1，求f（α）的值．

答案

（1）∵f(x)=sin

x

2

sin(

π

2

+

x

2

)=sin

x

2

cos

x

2

=

1

2

sinx，
故 函数f（x）在区间[-π，-

π

2

]单调递减，在区间[-

π

2

，0]单调递增．
（2）∵α∈(0，

π

2

)，2f(2α)+4f(

π

2

-2α)=1，∴sin2α+2sin(

π

2

-2α)=1，
∴2sinαcosα+2（cos²α-sin²α）=1，∴cos²α+2sinαcosα-3sin²α=0，∴（cosα+3sinα）（cosα-sinα）=0，
∴cosα-sinα=0，sinα=

2

2

，∴f(α)=

1

2

sinα=

2

4

．