已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量a=(655sinA+B2，cosA-B2)，且|a|=355．（1）求tanA•tanB的值；（2）求C的最大值，并判

题型：不详难度：来源：

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量

a

=(

65

5

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

)，且|

a

|=

3

5

5

．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求C的最大值，并判断此时△ABC的形状．

答案

（1）∵|

a

|=

3

5

5

，∴

13

5

sin2

A+B

2

+cos2

A-B

2

=

9

5

13

5

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

5

∴13cos（A+B）=5cos（A-B）∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=

4

9

（2）由tanAtanB=

4

9

＞0，
知tanA，tanB＞0，tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

4

3

tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

5

(tanA+tanB)≤-

9

5

×2

tanAtanB

=-

12

5

当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-

12

5

，
所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形．