已知函数f（x）asinxcosx+4cos2x，x∈R，f(π6)=6．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最大值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最大值．

答案

（Ⅰ）依题意，f（

π

6

）=asin

π

6

cos

π

6

+4cos2

π

6

=6，即a×

1

2

×

3

2

+4×(

3

2

)2=6…（3分），
解得a=4

3

；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=4

3

sinxcosx+4cos²x
=2

3

sin2x+2（cos2x+1）
=4sin（2x+

π

6

）+2，…（9分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值M=4+2=6…（12分）