已知函数f(x)=sin(x+π6),其中x∈[-π3,a].当a=π2时,f(x)的值域是______;若f(x)的值域是[-12,1],则a的取值范围是__

已知函数f(x)=sin(x+π6),其中x∈[-π3,a].当a=π2时,f(x)的值域是______;若f(x)的值域是[-12,1],则a的取值范围是__

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已知函数f(x)=sin(x+
π
6
),其中x∈[-
π
3
,a].当a=
π
2
时,f(x)的值域是______;若f(x)的值域是[-
1
2
,1],则a的取值范围是______.
答案
当a=
π
2
时,由x∈[-
π
3
π
2
]可得-
π
6
≤x+
π
6
3
,∴-
1
2
≤sin(x+
π
6
)≤1,
∴f(x)的值域是[-
1
2
,1].
若f(x)的值域是[-
1
2
,1],则
π
2
≤a+
π
6
6
,解得
π
3
≤a+≤π,即a的取值范围是[
π
3
,π],
故答案为[-
1
2
,1]、[
π
3
,π].
举一反三
函数f(x)=sin(x+
π
4
)
在下列各区间中单调递增的区间是(  )
A.[
π
2
,π]
B.[0,
π
4
]
C.[-π,0]D.[
π
4
π
2
]
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关于函数f(x)=sin2x-(
2
3
)
|x|
+
1
2
,下面有四个结论,其中正确的为 .
①f(x)为奇函数;②当x>2008时,f(x)
1
2
恒成立;③f(x)的最大值是
3
2
;④f(x)的最小值是-
1
2
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已知f(x)=-4cos2x+4


3
asinxcosx,将f(x)的图象按向量


b
=(-
π
4
,2)平移后,图象关于直线x=
π
12
对称.
(1)求实数a的值,并求f(x)取得最大值时x的集合;
(2)求f(x)的单调递增区间.
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已知函数f(x)=sin(
π
4
+x)sin(
π
4
-x)

(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)设α是锐角,且sin(α-
π
4
)=
1
2
,求f(α)的值.
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设函数f(x)=


a


b
,其中


a
=(m,cos2x),


b
=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点(
π
4
,2
).
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合;
(Ⅲ)求函数f(x)的单调区间.
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