(1)△ABC中,证明:sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA(2)计算:sin217°+cos247°+sin17°cos47°.
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(1)△ABC中,证明:sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA (2)计算:sin217°+cos247°+sin17°cos47°. |
答案
(1)△ABC中,根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA…(*) 又∵===2R(R是外接圆半径) ∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 代入(*)式,得4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-2•2RsinB•2RsinCcosA 两边约去4R2,得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,原等式成立. (2)∵cos47°=cos(90°-43°)=sin43° ∴sin217°+cos247°+sin17°cos47°=sin217°+sin243°+sin17°sin43° 设△ABC中,B=17°,C=43°,则A=180°-(17°+43°)=120° 由(1)得:sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA, 即sin2120°=sin217°+sin243°-2sin17°sin43°cos120°=sin217°+sin243°+sin17°sin43° ∴sin217°+sin243°+sin17°sin43°=sin2120°=()2= 即sin217°+cos247°+sin17°cos47°=. |
举一反三
已知α∈(0,),且2sin2α-sinαcosα-3cos2α=0,则=______. |
已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),则tan(2α-β)的值为______. |
已知sin(-α)+sinα=,则sin(α+)的值是( ) |
已知向量=(cosθ,sinθ),=(cosφ,sinφ),若(θ-φ)=,则向量与向量+的夹角是( ) |
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