在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=45，b=5c．（1）求sinC的值；（2）求sin（2A+C）的值；（3）若△ABC的面积S=

题型：镇江一模难度：来源：

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=

4

5

，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）求sin（2A+C）的值；
（3）若△ABC的面积S=

3

2

sinBsinC，求a的值．

答案

（1）∵a²=b²+c²-2bccosA=26c2-10c2×

4

5

=18c²，
∴a=3

2

c．
∵cosA=

4

5

，0＜A＜π，∴sinA=

3

5

．
∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinC=

csinA

a

=

c× 3 5

3 2 c

=

2

10

；
（2）∵c＜a，∴C为锐角，
∴cosC=

1-sin2C

=

7 2

10

．
∵sin2A=2sinAcosA=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
cos2A=2cos2A-1=2×

16

25

-1=

7

25

，
∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC
=

24

25

×

7 2

10

+

7

25

×

2

10

=

7 2

10

；
（3）∵b=5c，∴

sinB

sinC

=

b

c

=5，sinB=5sinC．
∴

3

2

sinBsinC=

15

2

sin2C=

3

20

．
又∵S=

1

2

bcsinA=

3

2

c2=

a2

12

，
∴

a2

12

=

3

20

，
∴a=

3 5

5

．