已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量m=(sinB,1-cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B的大小;(
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已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量m=(sinB,1-cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B的大小;(
题型:不详
难度:
来源:
已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量
m
=(sinB,1-cosB)与向量
n
=(2,0)的夹角θ的余弦值为
1
2
.
(1)求角B的大小;
(2)若
b=
3
,求a+c的取值范围.
答案
(1)△ABC中,因为
m
═(sinB,1-cosB)=
2sin
B
2
•(cos
B
2
,sin
B
2
)
,
n
=(2,0),
∴
m
•
n
=
4sin
B
2
cos
B
2
,
|
m
|=2sin
B
2
,|
n
|=2
,
所以,
cosθ=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=cos
B
2
.…(4分)
由
cos
B
2
=
1
2
,0<θ<π
,可得
B
2
=
π
3
,即
B=
2π
3
.…(7分)
(2)因为
B=
2π
3
,所以
A+C=
π
3
.
所以
sinA+sinC=sinA+sin(
π
3
-A)=sinA+sin
π
3
cosA-cos
π
3
sinA
=
1
2
sinA+
3
2
cosA=sin(
π
3
+A)
. …(10分)
又
0<A<
π
3
,所以
π
3
<
π
3
+A<
2π
3
.所以,
sinA+sinC∈(
3
2
,1]
.…(12分)
又
a+c=
b
sinB
(sinA+sinC)=2(sinA+sinC)
,
所以
a+c∈(
3
,2]
.…(14分)
举一反三
已知tanα=2,
tan(α-β)=-
3
5
,则tanβ=______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=-
3
sinx+cosx在
[-
π
6
,
π
6
]
上的值域是______.
题型:不详
难度:
|
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求证:sinα(1+tanα)+cosα(1+
1
tanα
)=
1
sinα
+
1
cosα
.
题型:不详
难度:
|
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已知:
sinθ-cosθ
sinθ+2cosθ
=-1
求证:3sin2θ=-4cos2θ
题型:不详
难度:
|
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已知cosα-cosβ=
1
2
,sinα-sinβ=
1
3
,则cos(α-β)=______.
题型:不详
难度:
|
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