设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin(A-π6)=cosA.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=2,求b+c的最大值.

设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin(A-π6)=cosA.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=2,求b+c的最大值.

题型:泉州模拟难度:来源:
设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin(A-
π
6
)=cosA

(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2,求b+c的最大值.
答案
解法一:(Ⅰ)由已知有sinA•cos
π
6
-cosA•sin
π
6
=cosA
,…(2分)
sinA=


3
cosA
tanA=


3
.…(4分)
又0<A<π,
所以A=
π
3
.…(5分)
(Ⅱ)由正弦定理得b=
a•sinB
sinA
=
4


3
sinB,c=
a•sinC
sinA
=
4


3
sinC
,…(7分)
b+c=
4


3
(sinB+sinC)
.…(8分)sinB+sinC=sinB+sin(
3
-B)=sinB+sin
3
•cosB-cos
3
•sinB=
3
2
sinB+


3
2
cosB

=


3
sin(B+
π
6
)
.…(10分)
所以b+c=4sin(B+
π
6
)

因为0<B<
3
,所以
π
6
<B+
π
6
6

∴当B+
π
6
=
π
2
B=
π
3
时,sin(B+
π
6
)
取得最大值1,
b+c取得最大值4.…(12分)
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得,4=b2+c2-bc,…(8分)
所以4=(b+c)2-3bc,即(b+c)2-3(
b+c
2
)2≤4
,…(10分)
∴(b+c)2≤16,故b+c≤4.
所以,当且仅当b=c,即△ABC为正三角形时,b+c取得最大值4.…(12分)
举一反三
若cosxcosy+sinxsiny=
1
3
,则cos(2x-2y)=______.
题型:上海难度:| 查看答案
一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两个实数根为tanα和tanβ.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求tan(α+β)的取值范围及其最小值.
题型:杭州二模难度:| 查看答案
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知b=


5
,c=3,sin(B+C)=2sinB

(I)求边a的长;
(II)求cos(B+
π
6
)
的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知锐角α、β满足sinα=


5
5
,cosβ=
3


10
10
,则α+β等于(  )
A.
4
B.
π
4
4
C.
π
4
D.2kπ+
4
(k∈Z)
题型:不详难度:| 查看答案
已知:0<α<
π
2
,0<β<
π
2
,且sin(α+β)=2sinα,求证:α<β.
题型:不详难度:| 查看答案
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